Cada uno de éstos animales marinos sustituye a un número del uno al cinco. El mismo animal tiene siempre igual valor. Cada fila es una suma. Averigua el valor de cada animal.
Si a cada animal le diéramos el nombre de una letra, ¿Podrías plantear las ecuaciones a partir del dibujo? ¿Podrías resolver el problema de esta forma?
Si los gatos grandes pesan todos lo mismo, al igual que los pequeños, ¿Podrías decir como en el ejercicio anterior cuánto pesa cada uno? ¿Y si plantearas ecuaciones?
Se puede encontrar la solución a los problemas probando con diferentes números. Pero esto se puede volver una tarea complicada, e incluso a veces imposible. Por ello necesitamos de algún método que nos proporcione una solución de un modo más sencillo.
Y ya que estamos...¿Qué significado tiene un sistema de ecuaciones?
Comenzaremos con una toma de contacto con los ejes de coordenadas:
Al moverte con el ratón podrás ir viendo cómo varían las coordendas en los diferentes cuadrantes en que se divide el plano.
Una vez que te has familiarizado con las coordenadas, pasemos a las funciones:
Modificando los parámetros "m" y "k" podrás ir obteniendo las rectas de ecuación y=mx+k.
Supongamos que tenemos dos rectas en lugar de una. Normalmente, salvo excepciones, estas cortarán en un punto. ¿Podrías decir en cuál? Para contestar a esta pregunta disponemos de la resolución de los sistemas de ecuaciones.
Pero antes que nada veamos algunas leyes que nos pueden resultar interesantes:
Ley de la suma: Si nos fijamos en la figura siguiente, al quitar o añadir a ambos lados de la balanza una misma cantidad de elementos, seguimos teniendo un equilibrio.
Lo cual traducido al mundo de las ecuaciones, quiere decir que al sumar o restar a ambos lados de la igualdad una misma cantidad, la igualdad sigue manteniéndose, como podemos apreciarlo en el siguiente ejemplo:
Y esto puede resultarnos muy útil si lo que nos interesa es despejar una de las variables.
Ley del producto: Si de nuevo observamos la figura, al multiplicar o dividir a mabos lados de la balanza, se sigue manteniendo el equilibrio.
De nuevo traducido, significa que podemos multiplicar o dividir por una misma cantidad a ambos lados de la igualdad, que esta se sigue manteniendo, como podemos verlo en el ejemplo:
Que también puede resultarnos tremendamente útil si de nuevo queremos despejar una de las variables.
Ya estamos en condiciones de comenzar a ver los tres métodos de resolución de sistemas de ecuaciones:
- Método de sustitución.
- Método de igualación.
- Método de reducción.
Método de sustitución
Trataremos de explicarlo resolviendo un ejemplo cualquiera:
Ya estamos en condiciones de aplicar el método para la resolución de los siguientes sistemas:
Si ya hemos entendido el método, podemos resolver estos sistemas que ya presentan un mayor nivel de dificultad:
Método de igualación
De nuevo expliquemos el método resolviendo el mismo ejemplo que usamos para explicar el método de sustitución:
Como actividades para coger soltura, se podrían resolver por el método de igualación los ejercicios 1, 2 y 3 propuestos para el anterior método.
Y como actividades de perfeccionamiento, los ejercicios 4, 5 y 6.
Podemos ver un vídeo explicativo del método de igualación mediante un ejemplo:
Podemos ver un vídeo explicativo del método de igualación mediante un ejemplo:
Método de reducción
Podemos intentar encontrar la solución de los sistemas propuestos en los ejercicios 1, 2, 3, 4, 5 y 6 por el método de reducción.
Posición relativa de dos rectas
Supongamos que tenemos dos rectas. ¿De cuántas formas pueden cortar?
Tenemos los siguientes tres casos:
1) Cortan en un punto (son secantes). El sistema en tal caso se llamará sistema compatible determinado.
Podemos verlo en el siguiente ejemplo:
2) No cortan en ningún punto (son paralelas). El sistema en este caso se llamará sistema incompatible.
Podemos verlo en el siguiente ejemplo:
3) Cortan en infinitos puntos (son coincidentes). Será un sistema compatible indeterminado.
Podemos verlo en el siguiente ejemplo:
https://docs.google.com/document/d/1EKliGnkdgYSojv_Cf0lBHVGhOFlvwsbJ9vNk9H8vdzQ/edit#
Ya conocemos las tres diferentes posiciones en que nos podemos encontrar dos rectas. Probemos con los siguientes ejercicios propuestos de forma interactiva en la siguiente página:
http://www.ematematicas.net/posicionrelativa.php?a=5
Resolución de problemas
Ya conocemos los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Abordemos los problemas, para los que realmente están destinados estos métodos. Comenzaremos con uno básico y vamos comentando cómo podemos proceder a su resolución:
Dos números suman 25 y si restamos al mayor el menor el resultado es 11. ¿Qué números son?
Podemos encontrar problemas resueltos de sistemas de ecuaciones en la dirección:
https://docs.google.com/document/d/1yWdxiPJxmcAu92OlItFX3JweQDaGlkUzL_8yynEO2OU/edit#
Y un listado de problemas para practicar en:
https://docs.google.com/document/d/1WfyupgIJ6qvW_czWnA4KOwXCm-mRqWJUjgddvynE6A4/edit#
Para aquellos/as alumnos/as que han realizado correctamente todas las actividades, se propone a continuación una de investigación. Podrás entrar en la sección de google groups donde podrás plantear tus dudas, ideas...creando un grupo con el nombre que te interese y dejando la dirección en los comentarios del blog para que los/as demás puedan acceder a él.
Necesito adquirir recipientes para almacenar exactamente 1000 litros de pintura, pero sólo dispongo de recipientes con capacidades de 400 l, 390 l, 240 l, 230 l, 170 l y 160 l. ¿Cuántos recipientes de cada tipo necesitaré? ¿Habrá otra forma diferente de organizar la pintura para obtener exactamente 1000 l?
Método de resolución de sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas: Método de Gauss
Si en lugar de tener un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, procederemos de un modo bastante similar a cuando resolvíamos un sistema por el método de reducción. Veamos en qué consiste el método en la siguiente presentación de Slideshare:
Resolución de problemas por el método de gauss
